〔７〕相似図形の長さ・面積（類題１）


（問題）

 図で、ＢＣ＝１５ｃｍ、ＤＣ＝６ｃｍ、ＡＤ＝８ｃｍ、角ＡＤＣ＝９０°です。ＡＤの中点をＥ、ＢＥを延のばした線とＡＣの交点をＦとします。また、ＦからＢＣに垂直すいちょくな線を引いて、交点をＨとします。次の問いに答えなさい。
（１）ＢＨ：ＦＨを最も簡単かんたんな整数の比で答えなさい。
（２）三角形ＦＢＣの面積を求めなさい。
（３）Ｃを通り、ＢＦに平行な直線と直線ＦＤの交点をＧとします。また、ＧからＢＣに垂直な線を引いて、交点をＰとします。このとき、ＧＰの長さを求めなさい。

（過去問題の図）



   過去問題は こちら
 相似図形の長さ・面積の問題は２０２０年度にも出題されてます。
 過去問題は こちら （問題文なし）
 類題は こちら （問題文あり）

（１）ＢＨ：ＦＨの比を求める
 １.三角形ＢＥＤとＢＦＨが相似あることを使う



 ＡＤとＦＨが平行なので、三角形ＢＥＤとＢＦＨは山の形の相似な三角形です。だから、ＢＤ：ＥＤの比とＢＨ：ＦＨの比は同じになります。
 長さを書き込むとＢＤ：ＥＤが９：４だと分かるので、ＢＨ：ＦＨも９：４になります。





（２）三角形ＦＢＣの面積を求める
 ２．もう一つ相似な三角形を考えることで、ＦＨの長さを求める



 点Ｃの方から同じように考えると、三角形ＣＡＤとＣＦＨが相似で、ＣＨ：ＦＨ＝３：４だと分かります。「１」の場合も今度の場合も、ＦＨを表す比は４で同じなので、ＢＣを表す比が１２だと分かります。ＢＣの長さは１５センチなので、比１の長さはセンチになります。
 ＦＨの長さはその４倍の５センチなので、三角形ＦＢＣの面積を計算することができます。





（３）ＧＰの長さを求める
 ３．三角形ＢＤＦとＣＤＧ、三角形ＦＤＨとＧＤＰの２つの相似を考えて、ＦＨとＧＰの比を求める



 ＢＦとＣＧが平行なので、三角形ＢＤＦとＣＤＧちょうちょの形の相似になります。ＢＤ：ＣＤ＝３：２なので、ＦＤ：ＧＤも３：２です。
 ＦＨとＧＰが平行なので、三角形ＦＤＨとＧＤＰもちょうちょの形の相似です。ＦＤ：ＧＤ＝３：２なので、ＦＨ：ＧＰも３：２です。
 つまり、ＰＧはＦＨのの長さで、センチです。





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