〔３〕台形の面積（過去問題）
（図）
（類題の問題）
辺ＡＤとＢＣが平行な台形ＡＢＣＤがあります。対角線の交点Ｏを通って辺ＢＣに平行な直線が辺ＤＣと交わる点をＥとします。さらに、ＥＢとＡＣが交わる点をＦとし、Ｆを通って辺ＢＣに平行な直線がＢＤと交わる点をＧとします。ＡＤ＝５ｃｍ、ＢＣ＝２０ｃｍのとき、次の問いに答えなさい。（１）ＯＥの長さは何ｃｍですか。
（２）ＧＦの長さは何ｃｍですか。
（３）台形ＡＢＣＤの面積は、三角形ＯＧＦの面積の何倍ですか。
類題は こちら
（１）辺ＥＯの長さを求める
１．ちょうちょの形の相似な三角形を使って考える
三角形ＯＡＤと三角形ＯＣＢは、ちょうちょの形の相似な図形です。
ＡＤが４センチ、ＢＣが１２センチなので、２つの三角形の長さの比は１：３です。
２．次は、山の形の相似な三角形を使って考える
三角形ＢＯＥと三角形ＢＤＡは山の形の相似な図形です。
長さの比は３：４です。
④のＡＤが４センチなので、③のＥＯは３センチになります。
（２）辺ＦＧの長さを求める
３．辺ＥＯの場合と同じように考える
三角形ＦＥＯと三角形ＦＣＢは、ちょうちょの形の相似な図形です。
ＥＯが３センチ、ＢＣが１２センチなので、２つの三角形の長さの比は１：４です。
次に、三角形ＣＦＧと三角形ＣＥＯの山の形の相似な図形を考えます。
長さの比は４：５です。
⑤が３ｃｍなので、④のＦＧは、
ｃｍになります。
（３）台形ＡＢＣＤの面積が、三角形ＯＦＧの面積の何倍か求める
４．まず、三角形ＯＦＧと三角形ＯＢＣの面積の比を求める
山の形の相似な図形の面積の比は、辺の長さの比を２回かけた数になります。
三角形ＯＦＧと三角形ＯＢＣの長さの比は１：５なので、面積の比は１：２５です。
５．台形ＡＢＣＤの面積と、三角形ＯＢＣの面積の比を求める
台形を割ってできる４つの三角形の面積の比は、上底と下底の長さの比を使って表すことができます。
それを使うと、台形ＡＢＣＤと三角形ＯＢＣが、１６：９だと分かります。
６．２種類の比の数を合わせて、台形ＡＢＣＤと三角形ＯＦＧの面積の比を求める
三角形ＯＢＣは、赤い数字では
、青い数字では
です。
どちらも同じ面積を表すので、赤い数字は９倍、青い数字は２５倍して数を合わせます。
台形ＡＢＣＤの面積は
、三角形ＯＦＧの面積はです。
だから、台形ＡＢＣＤの面積は、三角形ＯＦＧの面積の
です。
（説明１）山の形の三角形の面積の比についての説明
山の形の三角形の面積の比は、長さの比を２回ずつかけた数になる
（説明２）台形を割ってできる、４つの三角形の面積の比についての説明
台形を割ってできる、４つの三角形の面積の比は、上底と下底の長さの比の数をかけると分かる
